Question

如圖，設P是圓x²+y²=25上的動點，點D是P在x軸上的射影，M為PD上一點，且|MD|=

4

5

|PD|
（Ⅰ）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程
（Ⅱ）求過點（3，0）且斜率

4

5

的直線被C所截線段的長度．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意P是圓x²+y²=25上的動點，點D是P在x軸上的射影，M為PD上一點，且|MD|=

4

5

|PD|，利用相關點法即可求軌跡；
（Ⅱ）由題意寫出直線方程與曲線C的方程進行聯立，利用根與系數的關系得到線段長度．

解答：解：（Ⅰ）設M的坐標為（x，y）P的坐標為（x_p，y_p）
由已知得：

xp=x yp= 5 4 y

∵P在圓上，
∴x2+(

5

4

y)2=25，即C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）過點（3，0）且斜率為

4

5

的直線方程為：y=

4

5

(x-3)，
設直線與C的交點為A（x₁，y₁）B（x₂，y₂），
將直線方程y=

4

5

(x-3)代入C的方程，得

x2

25

 +

(x-3)2

25

=1   即：x2-3x-8=0   ∴x1=

3- 41

2

，x2=

3+ 41

2

，
∴線段AB的長度為|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(1+ 16 25 )(x1-x2)2

 
=

41•41 25

=

41

5

．

點評：此題重點考查了利用相關點法求動點的軌跡方程，還考查了聯立直線方程與曲線方程進行整體代入，還有兩點間的距離公式．