Question

如圖，設P是圓x²+y²=25上的動點，點D是P在x軸上的射影，M為PD上一點，且|MD|=

4

5

|PD|
（1）求：當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程．
（2）直線l：kx+y-5=0恒與點M的軌跡C有交點，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分別設出M和P點的坐標，利用|MD|=

4

5

|PD|求得兩點坐標的關系，把P點坐標代入圓的方程化簡即可得到點M的軌跡C的方程；
（2）直接聯立直線方程和橢圓方程，由判別式大于等于0求解k的取值范圍．

解答：解：（1）如圖，設M的坐標為（x，y），P的坐標為（x_P，y_P）
由已知得

xP=x yP= 5 4 y

．
∵P在圓上，∴x2+(

5

4

y)2=25，
即C的方程為

x2

25

+

y2

16

=1；
（2）聯立

kx+y-5=0 x2 25 + y2 16 =1

，得（16+25k²）x²-250kx+225=0，
利用判別式△≥0，得（-150k）²-4×225×（16+25k²）≥0．
解得k≤-

3

5

或k≥

3

5

．
∴k的取值范圍是k≤-

3

5

或k≥

3

5

．．

點評：本題考查了代入法求曲線的軌跡方程，考查了直線和圓錐曲線的關系，訓練了判別式法判斷兩曲線的關系，是中檔題．