Question

如圖，設P是圓x²+y²=2上的動點，PD⊥x軸，垂足為D，M為線段PD上一點，且|PD|=

2

|MD|，點A、F₁的坐標分別為（0，

2

），（-1，0）．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）求|MA|+|MF₁|的最大值，并求此時點M的坐標．

Answer 1

分析：（1）確定M、P坐標之間的關系，利用P是圓x²+y²=2上的動點，即可求軌跡；
（2）由（1）知，M的軌跡方程是橢圓，F₁是左焦點，設右焦點為F₂，利用|MA|+|MF₁|=2

2

+|MA|-|MF₂|≤2

2

+|AF₂|=2

2

+

3

，即可求得結論．

解答：解：（1）設M的坐標為（x，y），P的坐標為（x_p，y_p）
∵PD⊥x軸，垂足為D，M為線段PD上一點，且|PD|=

2

|MD|，
∴x_p=x，y_p=

2

y 
∵P是圓x²+y²=2上的動點，
∴x²+2y²=2；
（2）由（1）知，M的軌跡方程是橢圓，F₁是左焦點，設右焦點為F₂，坐標為（1，0）
∴|MA|+|MF₁|=2

2

+|MA|-|MF₂|≤2

2

+|AF₂|=2

2

+

3

當A，F₂，M三點共線，且M在AF₂延長線上時，取等號
直線AF₂的方程為x+

y

2

=1，與橢圓方程聯立，解得x=

4+ 6

5

，y=

2 -2 3

5

∴所求最大值為2

2

+

3

，此時M的坐標為（

4+ 6

5

，

2 -2 3

5

）．

點評：本題考查利用相關點法求動點的軌跡方程，考查最值問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．