Question

已知曲線f（x）=

1

3

x³-x²-

16

x-1

（x＞1），則在該曲線上點（x₀，f（x₀））處切線斜率的最小值為（　　）

• A、7
• B、8
• C、9
• D、10

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：計算題,導數的概念及應用

分析：先求出曲線對應函數的導數，由基本不等式求出導數的最小值，即得到曲線斜率的最小值．

解答：解：f（x）=

1

3

x³-x²-

16

x-1

（x＞1）的導數f′（x）=x²-2x+

16

(x-1)2

，
∴在該曲線上點（x₀，f（x₀））處切線斜率 k=x₀²-2x₀+

16

(x0-1)2

，
即k=（x₀-1）²+

16

(x0-1)2

-1，
由函數的定義域知 x₀＞1，即x₀-1＞0，
∴k≥2

(x0-1)2• 16 (x0-1)2

-1=7，當且僅當（x₀-1）²=

16

(x0-1)2

，即x₀=3 時，等號成立．
∴k的最小值為7．
故選A．

點評：本題考查曲線的切線斜率與對應的函數的導數的關系，以及基本不等式的應用，體現了轉化的數學思想．