設雙曲線C：
（a>0，b>0）的一個焦點坐標為（
，0），離心率
， A、B是雙曲線上的兩點，AB的中點M（1，2）.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求直線AB方程；
（3）如果線段AB的垂直平分線與雙曲線交于C、D兩點，那么A、B、C、D四點是否共圓？為什么？
(1)
(2)
（3）是，理由見解析
【解析】
試題分析：
(1)根據題意已知
,則利用雙曲線a,b,c之間的關系與離心率的定義
即可求出
的值,進而得到雙曲線的標準方程.
(2)根據題意可得AB為雙曲線的一條弦,要求弦所在直線,還需要斜率,可以采用點差法利用弦的中來求解弦的斜率,已知了弦所在直線的斜率與弦上的中點坐標,再利用直線的點斜式即可求出弦所在直線的方程.
(3)由(2)可得AB直線的方程,聯立直線AB與雙曲線的方程消元解二次方程即可得到A,B兩點的坐標,已知AB線段的斜率與中點即可求的AB垂直平分線的直線方程,聯立垂直平分線與雙曲線的方程消元解二次方程即可求的CD兩點的坐標.
試題解析：
（1）依題意得
，解得a=1. （1分）
所以
， （2分）
故雙曲線C的方程為
. （3分）
（2）設
，則有
.
兩式相減得：
， （4分）
由題意得
，
，
， （5分）
所以
，即
. （6分）
故直線AB的方程為
. （7分）
（3）假設A、B、C、D四點共圓，且圓心為P. 因為AB為圓P的弦，所以圓心P在AB垂直平分線CD上；又CD為圓P的弦且垂直平分AB，故圓心P為CD中點M. （8分）
下面只需證CD的中點M滿足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|即可.
由
得：A（-1，0），B（3，4）. （9分）
由（1）得直線CD方程：
， （10分）
由
得：C（-3+
，6-
），D（-3-
，6+）， （11分）
所以CD的中點M（-3，6）. （12分）
因為
，
，
，
， （13分）
所以
，
即 A、B、C、D四點在以點M（-3，6）為圓心，
為半徑的圓上. （14分）
考點：雙曲線 直線與圓錐曲線 弦長 共圓
科目：高中數學 來源：2013-2014學年廣東省韶關市高三4月高考模擬（二模）理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
給出如下四個判斷：
①
；
②
；
③設集合
,
,則“
”是“
”的必要不充分條件;
④
,
為單位向量,其夾角為
，若
，則
.
其中正確的判斷個數是：（ ）
A．１ B．２ C．３ D．４
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科目：高中數學 來源：2013-2014學年廣東省韶關市高三4月高考模擬（二模）文科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
設
，則函數
的零點位于區間（ ）
A．（-1，0） B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）
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科目：高中數學 來源：2013-2014學年廣東省肇慶市高三3月第一次模擬理科數學試卷（解析版） 題型：選擇題
設向量
，
，定義一種向量積：
．已知向量
，
，點P在
的圖象上運動，點Q在
的圖象上運動，且滿足
（其中O為坐標原點），則在區間
上的最大值是( )
A．4 B．2 C．
D．
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科目：高中數學 來源：2013-2014學年廣東省湛江市高三高考模擬測試二文科數學試卷（解析版） 題型：填空題
在長為
的線段
上任取一點
，現作一矩形，鄰邊長分別等于線段
，
的長，則該矩形面積大于
的概率為 .
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，
，則
．
，
．若向量
與
共線，則實數
_______.
，則DC= .
的某一切線與直線
平行，則切線方程為 .