Question

設(shè)實(shí)數(shù)x，y同時(shí)滿足條件：4x²-9y²=36，且xy＜0．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式和定義域；
（2）判斷函數(shù)y=f（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

解：（1）因?yàn)?x²-9y²=36，所以．因?yàn)閤y＜0，所以y≠0．
又因?yàn)?x²-36=9y²＞0，所以x＞3或x＜-3．
因?yàn)閤y＜0，所以
函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)椋?∞，-3）∪（3，+∞）．
（2）當(dāng)x＜-3時(shí)，-x＞3，
所以f（-x）===-f（x）．
同理，當(dāng)x＞3時(shí)，有f（-x）=-f（x）．
綜上，任意取x∈（-∞，-3）∪（3，+∞），
都有f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數(shù)．
分析：（1）將含y的移到一側(cè)，然后開根號(hào)即可求出函數(shù)y=f（x）的解析式，再根據(jù)4x²-36=9y²＞0求出x的范圍，從而得到函數(shù)的定義域．
（2）分段函數(shù)奇偶性的判定可分段進(jìn)行，先判斷定義域是否對(duì)稱，然后根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判定即可．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的定義域及其求法，以及函數(shù)奇偶性的判斷，奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是高考中常考的知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．