Question

設實數x，y同時滿足條件：4x²-9y²=36，且xy＜0．
（1）求函數y=f（x）的解析式和定義域；
（2）判斷函數y=f（x）的奇偶性；
（3）若方程f（x）=k（x-1）（k∈R）恰有兩個不同的實數根，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由4x²-9y²=36，知y=±

2

3

x2-9

，由4x²-36=9y²＞0，知x＞3，x＜-3，由此能求出函數y=f（x）的定義域．
（2）當x＜-3有-x＞3，f（-x）=-

2

3

(-x)2-9

=-

2

3

x2-9

=-f（x），同理，當x＞3時，有f（-x）=-f（x）．由此能夠推導出f（x）為定義域上的奇函數．
（3）聯立方程組

4x2-9y2=36 y=k(x-1)

可得，（4-9k²）x²+18k²x-（9k²+36）=0，由此分類討論能夠求出k的取值范圍．

解答：解：（1）∵4x²-9y²=36，
∴y=±

2

3

x2-9

．
∵xy＜0，∴y≠0．
又∵4x²-36=9y²＞0，
∴x＞3，x＜-3．
∵xy＜0，
∴f(x)=

2 3 x2-9 (x＜-3) - 2 3 x2-9 (x＞3)

．
函數y=f（x）的定義域為集合D={x∈R|x＞3，x＜-3}．
（2）當x＜-3有-x＞3，f（-x）=-

2

3

(-x)2-9

=-

2

3

x2-9

=-f（x），
同理，當x＞3時，有f（-x）=-f（x）．
任設x∈D，有f（-x）=-f（x），
∴f（x）為定義域上的奇函數．
（3）聯立方程組

4x2-9y2=36 y=k(x-1)

，
可得，（4-9k²）x²+18k²x-（9k²+36）=0，
（Ⅰ）當k2=

4

9

時，即k=±

2

3

時，方程只有唯一解，與題意不符；
∴k≠±

2

3

．
（Ⅱ）當k2≠

4

9

時，即方程為一個一元二次方程，
要使方程有兩個相異實數根，
則△=（18k²）²+4×（4-9k²）（9k²+36）＞0．
解之得  -

2

2

＜k＜

2

2

，但由于函數f（x）的圖象在第二、四象限．
故直線的斜率k＜0，
綜上可知-

2

2

＜k＜-

2

3

或-

2

3

＜k＜0．

點評：本題考查函數的性質和綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．