Question

設實數x，y同時滿足條件：4x²-9y²=36，且xy＜0．
（1）求函數y=f（x）的解析式和定義域；
（2）判斷函數y=f（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

分析：（1）將含y的移到一側，然后開根號即可求出函數y=f（x）的解析式，再根據4x²-36=9y²＞0求出x的范圍，從而得到函數的定義域．
（2）分段函數奇偶性的判定可分段進行，先判斷定義域是否對稱，然后根據函數奇偶性的定義進行判定即可．

解答：解：（1）因為4x²-9y²=36，所以y=±

2

3

x2-9

．因為xy＜0，所以y≠0．
又因為4x²-36=9y²＞0，所以x＞3或x＜-3．（2分）
因為xy＜0，所以f(x)=

2 3 x2-9 ，x＜-3 - 2 3 x2-9  x＞3.

（6分）
函數y=f（x）的定義域為（-∞，-3）∪（3，+∞）．（8分）
（2）當x＜-3時，-x＞3，
所以f（-x）=-

2

3

(-x)2-9

=-

2

3

x2-9

=-f（x）．（10分）
同理，當x＞3時，有f（-x）=-f（x）．（12分）
綜上，任意取x∈（-∞，-3）∪（3，+∞），
都有f（-x）=-f（x），故f（x）是奇函數．（14分）

點評：本題主要考查了函數的定義域及其求法，以及函數奇偶性的判斷，奇偶性是函數的重要性質，是高考中常考的知識點，屬于基礎題．