Question

【題目】已知函數，．

（1）當時，求在上的最大值和最小值：

（2）若，恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）最大值是，最小值為0．（2）

【解析】

（1）記的導函數的導數為，分析可得，結合，可得在R上是增函數，再，可得在上是增函數，即得解；

（2）分，，三種情況分析的單調性，繼而分析的最小值，即得解.

（1）為表述簡單起見，記的導函數的導數為．

當時，，則．

，所以在R上是增函數．

又，所以當時，，

所以在上是增函數．

故在上的最大值是，最小值為．

（2），．

①若，即時，，

所以在R上是增函數．

又，所以當時，，

所以在上是增函數．

所以當時，．可見，當，．

又是偶函數，所以恒成立．

所以符合題意．

②若，即時，，

所以在R上是減函數．

所以當時，，所以在上是減函數．

所以當時，．

這與恒成立矛盾，所以不符合題意．

③當時，．

由，得．

由的圖象，知存在唯一的，使得．

當時，．

所以在上是減函數．

所以當時，，所以在上是減函數．

所以當時，．

這與恒成立矛盾，所以不符合題意．

綜上，a的取值范圍是．