Question

12．一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的表面積為（　　）

• A． $\frac{{9\sqrt{3}}}{4}$
• B． $9\sqrt{3}$
• C． $\frac{{9\sqrt{2}}}{4}$
• D． $9\sqrt{6}$

Answer 1

分析 如圖所示，該幾何體為三棱錐，AC=CB=3，點O為△ABC的重心，PO⊥底面ABC，PO=$\sqrt{6}$．PA=PB，即可得出該四面體是正四面體．

解答 解：如圖所示，該幾何體為三棱錐，AC=CB=3，點O為△ABC的重心，
PO⊥底面ABC，PO=$\sqrt{6}$．PA=PB，
CO=$\sqrt{3}$，CD=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\frac{3}{2}$=BD，S_△ABC=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}$=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$．
PD=$\sqrt{O{P}^{2}+O{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
PC=$\sqrt{P{O}^{2}+O{C}^{2}}$=3．PA=$\sqrt{P{D}^{2}+A{D}^{2}}$=3．
∴該四面體是正四面體．
∴這個幾何體的表面積=$\frac{9\sqrt{3}}{4}$×4=9$\sqrt{3}$．
故選：B．

點評 本題考查了正四面體的三視圖與表面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．