Question

4．已知f（x）為R上的可導函數，且對任意x∈R，均有f（x）＞f′（x），則以下說法正確的是（　　）

• A． e²⁰¹⁷f（-2017）＜f（0），f（2017）＞e²⁰¹⁷f（0）
• B． e²⁰¹⁷f（-2017）＜f（0），f（2017）＜e²⁰¹⁷f（0）
• C． e²⁰¹⁷f（-2017）＞f（0），f（2017）＜e²⁰¹⁷f（0）
• D． e²⁰¹⁷f（-2017）＞f（0），f（2017）＞e²⁰¹⁷f（0）

Answer 1

分析 由題意，首先構造函數F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，對其求導并判斷單調性，利用此性質判斷-2017，0，的函數值大小．

解答 解：設F（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
則F'（x）=[$\frac{f（x）}{e^x}$]'=$\frac{f'（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}=\frac{f'（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，因為f（x）＞f'（x），
所以F'（x）＜0，所以F（x）為減函數，
因為-2017＜0，2017＞0，
所以F（-2017）＞F（0），F（2017）＜F（0），
即$\frac{f（-2017）}{{e}^{-2017}}＞\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，所以e²⁰¹⁷f（-2017）＞f（0）；
$\frac{f（2017）}{{e}^{2017}}＜\frac{f（0）}{{e}^{0}}$，即f（2017）＜e²⁰¹⁷f（0）；
故選C．

點評 本題考查了利用函數的單調性判斷函數值的大小；關鍵是正確構造F（x），利用其單調性得到所求．