Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n=1-a_n，公差為3的等差數列{b_n}滿足b₂是b₁與b₆的等比中項．
（I）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（II）令c_n=a_nb_n，求數列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

解：（I）∵數列{a_n}的前n項和S_n=1-a_n，∴n≥2時，S_n-1=1-a_n-1，
∴兩式相減可得a_n=a_n-1-a_n，∴=（n≥2）
∵n=1時，S₁=1-a₁，∴a₁=
∴數列{a_n}是以為首項，為公比的等比數列
∴a_n=；
∵公差為3的等差數列{b_n}滿足b₂是b₁與b₆的等比中項
∴（b₁+3）²=b₁•（b₁+15）
∴b₁=1
∴b_n=1+3（n-1）=3n-2
（II）c_n=a_nb_n=（3n-2）•
∴T_n=1•+4•+…+（3n-2）•
∴T_n=1•+4•+…+（3n-5）•+（3n-2）•
兩式相減可得T_n=1•+3•+3•+…+3•-（3n-2）•=2-（3n+4）•
∴T_n=4-（6n+8）•．
分析：（I）利用數列{a_n}的前n項和S_n=1-a_n，，再寫一式，兩式相減可得數列{a_n}是以為首項，為公比的等比數列，從而可得數列{a_n}的通項公式；利用公差為3的等差數列{b_n}滿足b₂是b₁與b₆的等比中項，可求首項，從而可得{b_n}的通項公式；
（II）c_n=a_nb_n=（3n-2）•，利用錯位相減法，可得結論．
點評：本題考查數列的通項與求和，考查錯位相減法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．