Question

已知橢圓G與雙曲線12x²-4y²=3有相同的焦點，且過點．
（1）求橢圓G的方程；
（2）設F₁、F₂是橢圓G的左焦點和右焦點，過F₂的直線l：x=my+1與橢圓G相交于A、B兩點，請問△ABF₁的內切圓M的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可求橢圓的焦點坐標為F₁（-1，0），F₂（1，0），2a=|PF₁|+|PF₂|=4，從而可求a，c，結合以b²=a²-c²可求b，進而可求橢圓G的方程
（2）設△ABF₁內切圓M的半徑為r，與直線l的切點為C，則三角形即=，當最大時，r也最大，△ABF₁內切圓的面積也最大，而，利用方程的根與系數的關系結合函數的性質可求
解答：解：（1）雙曲線12x²-4y²=3的焦點坐標為（±1，0），所以橢圓的焦點坐標為F₁（-1，0），F₂（1，0）…（1分）
設橢圓的長軸長為2a，則2a=|PF₁|+|PF₂|=4，即a=2，
又c=1，所以b²=a²-c²=3∴橢圓G的方程…（5分）
（2）如圖，設△ABF₁內切圓M的半徑為r，與直線l的切點為C，
則
即=
當最大時，r也最大，△ABF₁內切圓的面積也最大，…（7分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）（y₁＞0，y₂＜0），則，
由，得（3m²+4）y²+6my-9=0，…（9分）
解得，，
∴，令，則t≥1，且m²=t²-1，
有，令，則，…（11分）
當t≥1時，f'（t）＞0，f（t）在[1，+∞）上單調遞增，有f（t）≥f（1）=4，，
即當t=1，m=0時，4r有最大值3，得，這時所求內切圓的面積為，…（12分）
∴存在直線l：x=1，△ABF₁的內切圓M的面積最大值為．…（13分）
點評：本題主要考查了由橢圓的性質及定義求解橢圓的方程，直線與橢圓位置關系的應用，難點是計算量較大，是解題中要求考試具備一定的邏輯推理與運算的能力