Question

(本小題滿分14分)

已知橢圓G與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)．

(1)求橢圓G的方程；

(2)設(shè)、是橢圓G的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過的直線與橢圓G相交于A、B兩點(diǎn)，請(qǐng)問的內(nèi)切圓M的面積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及直線的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

 解：(1)雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為………………1分

設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，則，即，

又，所以   ∴橢圓G的方程………………5分

(2)如圖,設(shè)內(nèi)切圓M的半徑為,與直線的切點(diǎn)為C，則三角形的面積等于的面積+的面積+的面積.

即

當(dāng)最大時(shí),也最大, 內(nèi)切圓的面積也最大,  ………………7分

設(shè)、(),則,

由,得,………………9分

解得,,

∴,令,則,且,

有,令,則,……………11分

當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,有,,

即當(dāng),時(shí),有最大值,得,這時(shí)所求內(nèi)切圓的面積為,……………12分

∴存在直線,的內(nèi)切圓M的面積最大值為. ………………13分