Question

【題目】已知橢圓右焦點，離心率為，過作兩條互相垂直的弦，設中點分別為．

(1) 求橢圓的標準方程；

(2)求以為頂點的四邊形的面積的取值范圍；

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】

（Ⅰ）利用橢圓的離心率，以及求出a、b，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）①當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，直接求出面積．
②當兩弦斜率均存在且不為0時，設A（x1，y1），B（x2，y2），且設直線AB的方程為y=k（x-1），與橢圓方程聯立，利用韋達定理以及弦長公式，求出AB，CD即可求解面積的表達式，通過基本不等式求出面積的最值．

解：(1) 由題意：，

∴，

則橢圓的方程為

(2) ①當兩直線一條斜率不存在一條斜率為0時，

②當兩直線斜率存在且都不為0時，

設直線方程為

將其帶入橢圓方程整理得：

同理，

，當時，

綜上所述四邊形面積范圍是