Question

【題目】底面為正方形的四棱錐P﹣ABCD，F為PD中點．

（1）求證：PB∥面ACF；
（2）若PD⊥面ABCD，求證：AC⊥面PBD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，

∴E為BD中點．

∵F為棱PD中點．

∴PB∥EF．

∵PB平面ACF，EF平面ACF，

∴直線PB∥平面ACF

（2）解：∵PD⊥面ABCD，AC平面ABCD，

∴PD⊥AC，

又∵正方形ABCD中，有AC⊥BD，且PD∩BD=D，

∴AC⊥面PBD．

【解析】（1）根據線面平行的判定定理證明PB∥EF即可證明PB∥平面EAC；（2）由PD⊥面ABCD，可證PD⊥AC，又可證AC⊥BD，利用線面垂直的判定定理即可證明AC⊥面PBD．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解直線與平面平行的判定的相關知識，掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行，以及對直線與平面垂直的判定的理解，了解一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．