Question

若實數x、y滿足4^x+4^y=2^x+1+2^y+1，則S=2^x+2^y的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據指數式的運算性質結合基本不等式可把條件轉化為關于s的不等關系式，進而可求出s的取值范圍．

解答：解：∵4^x+4^y=（2^x+2^y）²-2••2^x2^y=s²-2•2^x2^y，2^x+1+2^y+1=2（2^x+2^y）=2s，
故原式變形為s²-2•2^x2^y=2s，即2•2^x2^y=s²-2s，
∵0＜2•2^x2^y≤2•（

2x+2y

2

）²，即0＜s²-2s≤

s2

2

，當且僅當2^x=2^y，即x=y時取等號；
解得2＜s≤4，
故答案為（2，4]．

點評：利用基本不等式，構造關于某個變量的不等式，解此不等式便可求出該變量的取值范圍，再驗證等號是否成立，便可確定該變量的最值，這是解決最值問題或范圍問題的常用方法，應熟練掌握．