Question

設x、y∈R⁺，S=x+y，P=xy，以下四個命題中正確命題的序號是

③④

．（把你認為正確的命題序號都填上）
①若P為定值m，則S有最大值2

m

；②若S=P，則P有最大值4；③若S=P，則S有最小值4；④若S²≥kP總成立，則k的取值范圍為k≤4．

Answer 1

分析：對于①，當P為定值m時，利用基本不等式S應有最小值2

m

，；對于②，S=P時，xy≥2

xy

⇒

xy

≥2得出P_min=4；對于③，由x+y=xy≤

(x+y) 2

4

⇒x+y≥4⇒S_min=4；對于④，S²≥kP⇒k≤

S 2

P

，結合基本不等式得出k≤4．從而得出正確答案．

解答：解：P為定值m時，S=x+y≥2

xy

=2

m

，S應有最小值2

m

，故①不正確．
S=P時，x+y=xy⇒xy≥2

xy

⇒

xy

≥2⇒xy≥4⇒P_min=4，∴②也不正確．
由S=P⇒x+y=xy≤

(x+y) 2

4

⇒x+y≥4⇒S_min=4，∴③正確．
S²≥kP⇒k≤

S 2

P

，又

S 2

P

=

x2+y2+2xy

xy

≥

2xy+2xy

xy

=4，
∴（

S 2

P

）_min=4．∴k≤4．
∴④正確．
故答案為：③④．

點評：本小題主要考查基本不等式、函數的最大值、最小值等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．