Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，，BC=CD=2，．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，求三棱錐P-BDF的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由等腰三角形的性質(zhì)可得BD⊥AC，再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．再利用直線和平面垂直的判定定理證明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）由側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，可得三棱錐F-BCD的高是三棱錐P-BCD的高的．求出△BCD的面積S_△BCD，再根據(jù)三棱錐P-BDF的體積 V=V_P-BCD-V_F-BCD=-，運(yùn)算求得結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）∵BC=CD=2，∴△BCD為等腰三角形，再由 ，∴BD⊥AC．
再由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD．
而PA∩AC=A，故BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）∵側(cè)棱PC上的點(diǎn)F滿足PF=7FC，
∴三棱錐F-BCD的高是三棱錐P-BCD的高的．
△BCD的面積S_△BCD=BC•CD•sin∠BCD==．
∴三棱錐P-BDF的體積 V=V_P-BCD-V_F-BCD=-=×
==．
點(diǎn)評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，用間接解法求棱錐的體積，屬于中檔題．