Question

若 0≤x≤2π，

1+2sin2x

=sinx+cosx，則x的取值范圍是（　　）

• A、[0，π]
• B、[

  π

  4

  ，

  5π

  4

  ]
• C、[

  π

  2

  ，

  3π

  4

  ]∪[

  5π

  4

  ，2π]
• D、[0，

  3π

  4

  ]∪[

  7π

  4

  ，2π]

Answer 1

分析：已知等式左邊被開方數利用二倍角的正弦函數公式及同角三角函數間的基本關系化簡，再利用完全平方公式及二次根式的性質化簡，得到sinx+cosx≥0，利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的性質確定出x的范圍即可．

解答：解：∵

1+2sin2x

=

sin2x+2sinxcosx+cos2x

=

(sinx+cosx)2

=|sinx+cosx|=sinx+cosx，
∴sinx+cosx≥0，
即

2

sin（x+

π

4

）≥0，
∵0≤x≤2π，
∴

π

4

≤x+

π

4

≤

9π

4

，
∴

π

4

≤x+

π

4

≤π或2π≤x+

π

4

≤

9π

4

，
解得：0≤x≤

3π

4

或

7π

4

≤x≤2π，
則x的取值范圍為[0，

3π

4

]∪[

7π

4

，2π]．
故選D

點評：此題考查了同角三角函數間基本關系的應用，兩角和與差的正弦函數公式，正弦函數的定義域與值域，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵．