Question

設函數f（x）=|x-a|-ax，其中a為大于零的常數．
（1）解不等式：f（x）＜0；
（2）若0≤x≤2時，不等式f（x）≥-2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式代入到f（x）＜0得到一個不等式，當x小于等于0時得到不等式不成立；當x大于0時，對不等式的兩邊分別平方，移項后利用平方差公式分解因式，分a大于1，a等于1，a大于0小于1三種情況分別求出不等式的解集即可；
（2）把f（x）的解析式代入到f（x）≥-2得到一個不等式，當a小于1大于01時，由0≤x≤2，得到ax-2小于等于0，原不等式恒成立；當a大于1時，分兩種情況去掉絕對值號，然后把x等于2分別代入到化簡的不等式中，得到關于a的兩個不等式，分別求出解集與a大于1求出交集即可得到實數a的范圍，綜上，把兩種情況求出的a的范圍求出并集即可得到所有滿足題意的a的范圍．

解答：解：（1）不等式即為|x-a|＜ax，
若x≤0，則ax≤0，故不等式不成立；
若x＞0，不等式化為（x-a）²＜a²x²，即[（1+a）x-a][（1-a）x-a]＜0，
∴當a＞1時，x＞

a

1+a

或x＜

a

1-a

（舍）；
當a=1時，x＞

1

2

；
當0＜a＜1時，

a

1+a

＜x＜

a

1-a

．
綜上可得，當a＞1時，不等式解集為{x|x＞

a

1+a

}；
當a=1時，不等式的解集為{x|x＞

1

2

}；當0＜a＜1時，不等式解集為{x|

a

1+a

＜x＜

a

1-a

}；

（2）不等式即為|x-a|≥ax-2，
若0＜a≤1，則當0≤x≤2時有ax-2≤0，故不等式|x-a|≥ax-2恒成立．
若a＞1，則x-a≥ax-2或x-a≤2-ax對任意x∈[0，2]恒成立，
即（1-a）x+2-a≥0或（1+a）x-a-2≤0對任意x∈[0，2]恒成立，
所以（1-a）•2+2-a≥0或（1+a）•2-a-2≤0，
解得a≤

4

3

或a≤0，
∴1＜a≤

4

3

．
綜上，實數a的取值范圍為（0，

4

3

]．

點評：此題考查了其他不等式的解法，分類討論的數學思想，是一道綜合題．