Question

在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若（a+b+c）（b+c-a）=3bc．
（1）求角A的值；
（2）在（1）的結論下，若0≤x≤

π

2

，求y=cos²x+sinA•sin2x的最值．

Answer 1

分析：（1）將（a+b+c）（b+c-a）=3bc．變形為（b+c）²-a²=3bc，再用余弦定理求解．
（2）先降冪，再用輔助角法轉化為一個角的一種三角函數求最值．

解答：解：（1）（b+c）²-a²=b²+2bc+c²-a²=3bc，2bccosA=bc，
所以cosA=

1

2

，A=

π

3

（7分）
（2）y=

1+cos2x

2

+sinAsin2x=

1

2

+

1

2

cos2x+

3

2

sin2x=

1

2

+sin(2x+

π

6

)（10分）
因為0≤x≤

π

2

，0≤2x≤π，

π

6

≤2x+

π

6

≤

7

6

π，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，（12分）
所以，0≤

1

2

+sin(2x+

π

6

)≤

3

2

，
即ymin=0，ymax=

3

2

（14分）

點評：本題主要考查三角形中的余弦定理和三角函數中的降冪公式和輔助角法．