Question

已知函數=.

（1）若在（－∞，+∞）上是增函數，求a的取值范圍.

(2) 若在x=x₁及x=x₂ (x₁, x₂>0)處有極值，且1<≤5,求a的取值范圍。12分

Answer 1

(1) a的取值范圍是0≤a≤1.(2) 1<a≤

解析:

(1)∵=ax²－2ax+1……………………………...….1分

∴當a=0時，，=1>0,故結論成立………………………………2分

當a>0時,[ ]_min==1－a≥0,∴a≤1即0<a≤1.…………..4分

當a<0時, 在(0,+∞)上不恒大于或等于0，故舍去.…………..5分

綜上得a的取值范圍是0≤a≤1.

(2) 令=ax²－2ax+1=0，由題知其二根為x₁，x₂且x₁+x₂=2，x₁x₂=…………..7分

∵1<≤5 ∴x₁≤2－x₂≤5x₁  ∴≤x₁<1 …………..9分

∴x₁(2－x₂)=   ∴=－(x₁－1)²+1…………..11分

∴≤<1  ∴1<a≤…………..12分