Question

已知a，b，c∈（0，1）．
（1）求式子（1-a）a的最大值；
（2）求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同時大于

Answer 1

【答案】分析：對于（1）求式子（1-a）a的最大值．考慮到和為定值1，故可以用直接用基本不等式求解，且等號成立時候取最大值．
對于（2）求證：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a不能同時大于可用反證法假設可以同時大于，讓三個等式左邊右邊分別相乘得到，根據（1）中的結論可以判斷錯誤，故假設不成立，即得證．
解答：解：（1）∵a∈（0，1）
根據基本不等式∴（當且僅當時“=”成立）
∴a（1-a）的最大值是．
（2）證明：假設（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a同時大于
即
三式同向相乘得①
∵a∈（0，1），∴（1-a）a＞0，又由（1）知∴
同理∴
與①式矛盾，即假設不成立，故結論正確．
即得證．
點評：此題主要考查不等式的證明問題，題中涉及到基本不等式的應用以及反證法證明不等式，題目計算量小但有一定的技巧性，而且反證思想在證明題中非常重要，同學們需要注意．