Question

（選修4-5：不等式選講）已知a＞b＞c＞0，求證：a+

3

3 (a-b)(b-c)c

≥6（并指出等號(hào)成立的條件）

Answer 1

分析：由題意可得，要證原不等式成立，只要證（a-b）+（b-c）+c+

1

3 (a-b)(b-c)c

+

1

3 (a-b)(b-c)c

+

1

3 (a-b)(b-c)c

≥6 ①，根據(jù)6個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于這6個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)可得①成立，從而原不等式成立．

解答：證明：∵a＞b＞c＞0，要證a+

3

3 (a-b)(b-c)c

≥6，
只要證 （a-b）+（b-c）+c+

1

3 (a-b)(b-c)c

+

1

3 (a-b)(b-c)c

+

1

3 (a-b)(b-c)c

≥6  ①．
由于不等式的左邊這6項(xiàng)全部都是正實(shí)數(shù)，且這6項(xiàng)的積等于定值1，故這6個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)等于1，
由6個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于這6個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)可得

(a-b) +(b-c) +c + 1 3 (a-b)(b-c)c  + 1 3 (a-b)(b-c)c + 1 3 (a-b)(b-c)c

6

≥1，
故①成立，故原不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用分析法證明不等式，把證明不等式轉(zhuǎn)化為尋找使不等式成立的充分條件，直到使不等式成立的充分條件顯然已經(jīng)具備為止，利用了6個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于這6個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)．