Question

已知曲線C：f（x）=x+（a＞0），直線l：y=x，在曲線C上有一個動點P，過點P分別作直線l和y軸的垂線，垂足分別為A，B．再過點P作曲線C的切線，分別與直線l和y軸相交于點M，N，O是坐標原點．則△OMN與△ABP的面積之比為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意易得B的坐標，寫出垂線的方程聯立y=x可得A坐標，進而可得△ABP的面積，然后可寫出切線的方程，進而可得M、N的坐標，可表示出△OMN的面積，從而求出△OMN與△ABP的面積之比．
解答：解：由題意設點P（x，x+），則B（0，x+），
又與直線l垂直的直線向斜率為-1，故方程為y-（x+）=-（x-x）
和方程y=x聯立可得x=y=x+，故點A（x+，x+），
故△ABP的面積S=|x||x+-（x+）|
=|x|||=a，解得a=2，
又因為f（x）=x+，所以f′（x）=1-，故切線率為k=1-，
故切線的方程為y-（x+）=（1-）（x-x），
令x=0，可得y=，故點N（0，），
聯立方程y=x可解得x=y=2x，即點M（2x，2x），
故△OMN的面積為 •|||2x|=2a，
則△OMN與△ABP的面積之比為 8．
故答案為：8．
點評：本題考查利用導數研究曲線的切線方程，涉及三角形的面積和方程組的求解，屬中檔題．