Question

如圖，學(xué)校現(xiàn)有一塊三角形空地，∠A=60°，AB=2，AC=3（單位：m），現(xiàn)要在此空地上種植花草，為了美觀，用一根條形石料DE將空地隔成面積相等的兩部分（D在AB上，E在AC上）．
（1）設(shè)AD=x，AE=y，求用x表示y的函數(shù)y=f（x）的解析式，并寫出f（x）的定義域；
（2）如何選取D、E的位置，可以使所用石料最省？

Answer 1

【答案】分析：（1）由于DE將空地隔成面積相等的兩部分，所以可建立方程，化簡(jiǎn)即可得函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）選取D、E的位置，可以使所用石料最省，即必須使得DE最短，故利用余弦定理可表示出DE，再利用基本不等式確定最小值．
解答：解：（1）由題意得，S_△ADE=S_△ABC，
即，…（4分）
解得，…（5分）
所以，f（x）的定義域?yàn)閇1，2]．…（7分）
（2）在△ADE中，由余弦定理得，DE²=AD²+AE²-2•AD•AE•cosADE²=x²+y²-2xycos60°=x²+y²-xy=，x∈[1，2]，…（10分）
令x²=t，則t∈[1，4]，于是，…（12分）
當(dāng)且僅當(dāng)t=3，即時(shí)，DE²取最小值．…（13分）
所以，當(dāng)D、E離點(diǎn)A的距離均為m時(shí)（或（m）時(shí)），DE最短，即所用石料最省．…（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是解三角形的實(shí)際應(yīng)用，主要考查三角形的面積公式，考查余弦定理，同時(shí)考查了基本不等式的運(yùn)用，關(guān)鍵是函數(shù)關(guān)系式的建立，如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題．