Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經過點M（-2，-1），離心率為

2

2

．過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q．
（I）求橢圓C的方程；
（II）試判斷直線PQ的斜率是否為定值，證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經過點M（-2，-1），離心率為

2

2

，確定幾何量之間的關系，即可求得橢圓C的方程；
（Ⅱ）記P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），設直線MP的方程為y+1=k（x+2），與橢圓C的方程聯立，求得x₁=

-4k2+4k+2

1+2k2

，同理得x₂=

-4k2-4k+2

1+2k2

，再利用k_PQ=

y1-y2

x1-x2

，即可證得結論．

解答：（Ⅰ）解：由題設，∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經過點M（-2，-1），離心率為

2

2

．
∴

4

a2

+

1

b2

=1，①且

a2-b2

a

=

2

2

，②
由①、②解得a²=6，b²=3，
∴橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

3

=1．…（6分）
（Ⅱ）證明：記P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．
設直線MP的方程為y+1=k（x+2），與橢圓C的方程聯立，得（1+2k²）x²+（8k²-4k）x+8k²-8k-4=0，
∵-2，x₁是該方程的兩根，∴-2x₁=

8k2-8k-4

1+2k2

，即x₁=

-4k2+4k+2

1+2k2

．
設直線MQ的方程為y+1=-k（x+2），同理得x₂=

-4k2-4k+2

1+2k2

．…（9分）
因y₁+1=k（x₁+2），y₂+1=-k（x₂+2），
故k_PQ=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1+2)+k(x2+2)

x1-x2

=

k(x1+x2+4)

x1-x2

=1，
因此直線PQ的斜率為定值．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查橢圓的幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，確定橢圓的方程，聯立方程組是關鍵．