Question

已知x，y都是正數
（1）若3x+2y=12，求xy的最大值；   
（2）若

4

x

+

16

y

=1，求x+y的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于3x+2y=12，再根據xy=

1

6

•3x•2y，利用基本不等式求得xy的最大值．
（2）由x，y∈R⁺且

4

x

+

16

y

=1可得，x+y=(x+y)(

4

x

+

16

y

)=

4y

x

+

16x

y

+20，利用基本不等式求得x+y的最小值．

解答：解：（1）∵3x+2y=12，∴xy=

1

6

•3x•2y≤

1

6

×(

3x+2y

2

)2=

1

6

×36=6，當且僅當3x=2y=6時，等號成立．
∴當且僅當3x=3時，xy取得最大值6．
（2）由x，y∈R⁺且

4

x

+

16

y

=1可得，x+y=(x+y)(

4

x

+

16

y

)=

4y

x

+

16x

y

+20≥2

4y x • 16x y

+20=36，
當且僅當

4y

x

=

16x

y

，即x=12且y=24時，等號成立，
所以，x+y的最小值是36．

點評：題主要考查基本不等式的應用，注意基本不等式的使用條件，以及等號成立的條件，式子的變形是解題的關鍵，屬于基礎題．