Question

已知x、y都是正數，則滿足x+2y+xy=30，求xy的最大值，并求出此時x、y的值．

Answer 1

分析：利用基本不等式可得x+2y≥2

2

•

xy

，令

xy

=t，則2

2

t+t²≤30，解出不等式可得t的最大值，即xy的最大值，結合不等式取等號的條件可求得x，y值．

解答：解：∵x＞0，y＞0，
∴x+2y≥2

2

•

xy

，當且僅當x=2y時取到等號；
又x+2y+xy=30，令

xy

=t，則2

2

t+t²≤30，
∵t＞0，∴0＜t≤3

2

，
∴0＜xy≤18．
當xy=18時，又x=2y．
∴x=6，y=3．
因此當x=6，y=3時，xy取最大值18．

點評：本題考查基本不等式在最值問題中的應用，注意基本不等式求最值使用的條件：一正、二定、三相等．本題也可把xy變為關于x的函數后再運用基本不等式求最值．