Question

已知A（1，0），B（0，2），C（-3，1），

AB

•

AD

=5，

AD2

=10．
（1）求D點坐標．
（2）若D點在第二象限，用

AB

，

AD

表

AC

．
（3）

AE

=（m，2），若3

AB

+

AC

與

AE

垂直，求

AE

坐標．

Answer 1

分析：（1）先設出D（x，y），然后表示出

AB

與

AD

，再代入到

AB

•

AD

=5，

AD2

=10．中可求出x，y的值，確定D的坐標．
（2）先根據（1）確定D的坐標，從而可得到

AD

的坐標，設

AC

=m

AB

+n

AD

，將

AC

、

AB

、

AD

代入使橫縱坐標分別相等可求得m，n的值，進而用

AB

，

AD

表

AC

．
（3）先根據線性運算求出3

AB

+

AC

，再由兩向量互相垂直等價于其數量積等于0可求出m的值，進而可得到

AE

的坐標．

解答：解：（1）設D（x，y），

AB

=（1，2），

AD

=（x+1，y）．
由題得

AB • AD =x+1+2y=5 AD2 =(x+1)2+y2=10

，即

x+2y=4 (x+1)2=y2=10

∴

x=-2 y=3

或

x=2 y=1.

∴D點坐標為（-2，3）或（2，1）．
（2）∵D點在第二象限，∴D（-2，3）．
∴

AD

=（-1，3）．∵

AC

=（-2，1），
設

AC

=m

AB

+n

AD

，
則（-2，1）=m（1，2）+n（-1，3），
∴

-2=m-n 1-=2m=3n.

∴

m=-1 n=1.

∴

AC

=-

AB

+

AD

．
（3）∵3

AB

+

AC

=3（1，2）+（-2，1）=（1，7），

AE

=（m，2），
∴（3

AB

+

AC

）•

AE

=0．
∴m+14=0．∴m=-14．
∴

AE

=（-14，2）．

點評：本題主要考查向量的線性運算、向量相等、和向量垂直的等價條件．