Question

已知A（-1，0），B（1，0），若點C（x，y）滿足2

(x-1)2+y2

=|x-4|，則|AC|+|BC|=（　　）

A．6

B．4

C．2

D．與x，y取值有關

Answer 1

分析：將點C（x，y）滿足的方程兩邊平方，得4（x-1）²+4y²=（x-4）²，整理得：

x2

4

 +

y2

3

=1．可得點C的軌跡是焦點在x軸上的橢圓，滿足a²=4，b²=3，得c=

a2-b2

=1．可知點A、B恰好此橢圓的左右焦點，根據橢圓的定義，得|AC|+|BC|=
2a=4．因此得到正確選項．

解答：解：∵點C（x，y）滿足2

(x-1)2+y2

=|x-4|，
∴兩邊平方，得4（x-1）²+4y²=（x-4）²，整理得：3x²+4y²=12．
∴點C（x，y）滿足的方程可化為：

x2

4

 +

y2

3

=1．
所以點C的軌跡是焦點在x軸上的橢圓，滿足a²=4，b²=3，得c=

a2-b2

=1．
因此該橢圓的焦點坐標為A（-1，0），B（1，0），
根據橢圓的定義，得|AC|+|BC|=2a=4．
故選B

點評：本題給出一個含有根式和絕對值的方程，將其化簡得到圓錐曲線的標準方程，從而得到距離和為定值．著重考查了橢圓的定義和曲線與方程的知識，屬于基礎題．