Question

（2012•安徽模擬）設函數f（x）=ax+2，g（x）=a²x²-lnx+2，其中a∈R，x＞0．
（Ⅰ）若a=2，求曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線方程；
（Ⅱ）是否存在負數a，使f（x）≤g（x）對一切正數x都成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數g（x）的導函數g′（x），再求g′（1）即得到線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線斜率，最后由點斜式寫出切線方程
（Ⅱ）構造新函數h（x）=f（x）-g（x），f（x）≤g（x）對一切正數x都成立，即h（x）≤0對一切正數x都成立，即h（x）的最大值小于或等于零，從而將問題轉化為求函數h（x）的最大值問題，利用導數求新函數的最值即可

解答：解：（Ⅰ）由題意可知：當a=2時，g（x）=4x²-lnx+2
則g′(x)=8x-

1

x

曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線斜率k=g'（1）=7，又g（1）=6
曲線y=g（x）在點（1，g（1））處的切線的方程為y-6=7（x-1）即y=7x-1
（Ⅱ）設函數h（x）=f（x）-g（x）=ax+lnx-a²x²（x＞0）
假設存在負數a，使得f（x）≤g（x）對一切正數x都成立．
即：當x＞0時，h（x）的最大值小于等于零．h′(x)=a+

1

x

-2a2x=

-2a2x2+ax+1

x

(x＞0)
令h'（x）=0可得：x2=-

1

2a

，x1=

1

a

（舍）
當0＜x＜-

1

2a

時，h'（x）＞0，h（x）單增；
當x＞-

1

2a

時，h'（x）＜0，h（x）單減．
所以h（x）在x=-

1

2a

處有極大值，也是最大值．∴h(x)max=h(-

1

2a

)≤0解得：a≤-

1

2

e-

3

4

所以負數a存在，它的取值范圍為：a≤-

1

2

e-

3

4

點評：本題考察了導數的幾何意義，導數在函數最值問題中的應用，不等式恒成立問題的一般解法，解題時要認真計算，不斷總結