Question

已知函數f（x）=(

1

2

)|x-1|，g（x）=x²-2ax+2，x∈[1，3]，對于?m∈R，均能在區間[1，3]內找到兩個不同的n，使f（m）=g（n），則實數a的值是

2

．

Answer 1

分析：由f（x）=(

1

2

)|x-1|=

( 1 2 )x-1，x＞1 1，x=1 ( 1 2 )1-x，x＜1

，作出f（x）的圖象，由g（x）=x²-2ax+2是開口向上，對稱軸為x=a的拋物線，結合題設條件能求出a的值．

解答：解：∵f（x）=(

1

2

)|x-1|=

( 1 2 )x-1，x＞1 1，x=1 ( 1 2 )1-x，x＜1

，
∴f（x）的圖象如圖所示：
g（x）=x²-2ax+2是開口向上，對稱軸為x=a的拋物線，
∵x∈[1，3]，對于?m∈R，均能在區間[1，3]內找到兩個不同的n，使f（m）=g（n），
∴對稱軸為x=a=

1+3

2

=2．
所以a=2．
故答案為：2．

點評：本題考查函數恒成立問題的合理運用，解題時要認真審題，注意數形結合思想的合理運用．