Question

已知兩曲線y=x³+ax和y=x²+bx+c都經過點P（1，2），且在點P處有公切線，則當 的最小值為

1. A.
   -1
2. B.
   1
3. C.
   2
4. D.
   

Answer 1

B
分析：先由曲線y=x³+ax經過點P（1，2），求得a值，進而利用導數的幾何意義求得曲線y=x³+ax經過點P（1，2）的切線方程l；再由y=x²+bx+c經過點P（1，2）的切線方程也是l，可求得b、c的值；最后代入，利用均值定理求最小值即可
解答：將P（1，2）代入兩曲線y=x³+ax和y=x²+bx+c，得
設f（x）=x³+x，g（x）=x²+bx+c
∵f′（x）=3x²+1，∴f′（1）=4∵g′（x）=2x+b，∴g′（1）=2+b
∵兩曲線在點P處有公切線
∴f′（1）=g′（1）=2+b=4，
∴b=2，c=-1
∴==≥log₂2=1 （當且僅當x=1時取等號）
故選B
點評：本題考查了導數的幾何意義和均值定理的運用，解題時要抓住要害，準確作答．