Question

若M為△ABC所在平面內一點，且滿足(

MB

-

MC

)•(

MB

+

MC

)=0，

MB

+

MC

+2

MA

=

0

，則△ABC的形狀為（　�。�

A．正三角形

B．等腰三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

Answer 1

分析：根據(

MB

-

MC

)•(

MB

+

MC

)=0算出△MBC中MB=MC，△MBC是等腰三角形．而

MB

+

MC

+2

MA

=

0

，得到

MB

+

MC

=-2

MA

，代入第一個等式可得

CB

•2

MA

=0，從而得到BC⊥AM．再根據△MBC是等腰三角形，得到AM是BC的垂直平分線，可得AB=AC，而且M不是△ABC的重心，可得△ABC是等腰三角形且不是等邊三角形，得到本題答案．

解答：解：∵(

MB

-

MC

)•(

MB

+

MC

)=0
∴

MB

2-

MC

2=|

MB

|2-|

MC

|2=0，可得|

MB

|=|

MC

|
由此可得△MBC中MB=MC，△MBC是等腰三角形
又∵

MB

+

MC

+2

MA

=

0

，可得

MB

+

MC

=-2

MA

∴結合(

MB

-

MC

)•(

MB

+

MC

)=0，得

CB

•2

MA

=0
由此可得BC所在直線與AM所在直線互相垂直，
∵AM與等腰△BMC的底邊中線ME在一條直線上，
∴AM是BC的垂直平分線，可得AB=AC，得△ABC是等腰三角形
又∵

MB

+

MC

=-2

MA

，∴△ABC不是等邊三角形
故選：B

點評：本題給出三角形中的向量式，叫我們判斷三角形的形狀，著重考查了平面向量的數量積計算性質和向量加減法的定義等知識，屬于中檔題．