Question

18．已知函數f（x）=x³+3ax²．
（Ⅰ） 若a=-1，求f（x）的極值點和極值；
（Ⅱ） 求f（x）在[0，2]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間和極值即可；
（Ⅱ）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）a=-1時，f（x）=x³-3x²，
f′（x）=3x²-6x=3x（x-2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
故f（x）在（-∞，0）遞增，在（0，2）遞減，在（2，+∞）遞增；
故x=0是極大值點，極大值是f（0）=0，
x=2是極小值點，極小值是f（2）=-4；
（Ⅱ）f′（x）=3x²+6ax=3x（x+2a），
a≥0時，f′（x）≥0，f（x）在[0，2]遞增，
故f（x）_max=f（2）=12a+8；
-1＜a＜0時，-2＜2a＜0，
令f′（x）＞0，解得：x＞-2a，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜-2a，
故f（x）在[0，-2a）遞減，在（-2a，2]遞增，
故f（x）_max=f（0）=0或f（2）=12a+8；
a≤-1時，2a≤-2，f（x）在[0，2]遞減，
故f（x）_max=f（0）=0．

點評 本題考查了函數的單調性、極值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．