Question

6．為調查大學生這個微信用戶群體中每人擁有微信群的數量，現從武漢市大學生中隨機抽取100位同學進行了抽樣調查，結果如下：

微信群數量	頻數	頻率
0至5個	0	0
6至10個	30	0.3
11至15個	30	0.3
16至20個	a	c
20個以上	5	b
合計	100	1

（Ⅰ）求a，b，c的值；
（Ⅱ）以這100個人的樣本數據估計武漢市的總體數據且以頻率估計概率，若從全市大學生（數量很大）中隨機抽取3人，記X表示抽到的是微信群個數超過15個的人數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布表能求出a，b，c的值．
（Ⅱ）依題意可知，微信群個數超過15個的概率為p=$\frac{2}{5}$． X的所有可能取值0，1，2，3．分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）由已知得：0+30+30+a+5=100，解得a=35，
∴$b=\frac{5}{100}=0.05，c=\frac{35}{100}=0.35$．…（3分）
（Ⅱ）依題意可知，微信群個數超過15個的概率為p=$\frac{2}{5}$．        …（4分）
X的所有可能取值0，1，2，3． …（5分）
則P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{5}）^{0}（1-\frac{2}{5}）^{3}$═$\frac{27}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{2}{5}）（1-\frac{2}{5}）^{2}$=$\frac{54}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{2}{5}）^{2}（1-\frac{2}{5}）$=$\frac{36}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{2}{5}）^{3}（1-\frac{2}{5}）^{0}$=$\frac{8}{125}$． …（8分）
其分布列如下：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{125}$	$\frac{54}{125}$	$\frac{36}{125}$	$\frac{8}{125}$

…（10分）
EX=$0×\frac{27}{125}+1×\frac{54}{125}+2×\frac{36}{125}+3×\frac{8}{125}$=$\frac{6}{5}$． …（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查頻率分布表、離散型隨機變量的分布列、數學期望等基礎知識，考查運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．