Question

【題目】已知函數(shù)，是常數(shù)．

（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程，并證明對任意，切線經(jīng)過定點；

（Ⅱ）證明：時，有兩個零點、，且．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)答案見解析；(Ⅱ)證明見解析.

【解析】試題分析：

（Ⅰ）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線的切線方程，再根據(jù)方程判斷切線經(jīng)過的定點．（Ⅱ）由題意得函數(shù)在上都為增函數(shù)，根據(jù)函數(shù)零點存在定理可得在上有一個零點．由于，則，利用導(dǎo)數(shù)可得，再根據(jù)單調(diào)性可得結(jié)論成立．

試題解析：

（Ⅰ）由條件得，

∴，

又，

∴所求的切線方程為，

即．

將切線方程變形為，

令時，可得，

故切線過定點．

（Ⅱ）函數(shù)的定義域為，

當時，，

∴函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)都單調(diào)遞增．

又時，，

若且，則，

∴在區(qū)間內(nèi)有一個零點，從而在區(qū)間內(nèi)有一個零點．

當且時，，

當且時，，

∴在區(qū)間內(nèi)有一個零點，從而在區(qū)間內(nèi)有一個零點．

∵，

∴，

∴

，

∴，

∵在區(qū)間單調(diào)遞增，

∴，故得．