Question

18．設數列{a_n}的前n項和為S_n，并且滿足2S_n=a_n²+n，a_n＞0．猜想{a_n}的通項公式，并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

分析 由2S_n=a_n²+n，a_n＞0．n=1時，2a₁=${a}_{1}^{2}$+1，解得a₁=1．同理可得a₂=2，…．猜想a_n=n．再利用數學歸納法證明即可．

解答 解：由2S_n=a_n²+n，a_n＞0．n=1時，2a₁=${a}_{1}^{2}$+1，解得a₁=1．
n=2時，2（1+a₂）=${a}_{2}^{2}$+2，解得a₂=2，…．
猜想a_n=n．
下面利用數學歸納法證明：（1）當n=1時，a₁=1成立．
（2）假設n=k∈N^*時，a_k=k．則S_k=$\frac{k（k+1）}{2}$．
則n=k+1時，2$[\frac{k（k+1）}{2}+{a}_{k+1}]$=${a}_{k+1}^{2}$+k+1，a_k+1＞0，解得a_k+1=k+1．
∴n=k+1時有時成立．
綜上可得：a_n=n對?n∈N^*都成立．

點評 本題考查了數列遞推關系、猜想方法、數學歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．