Question

已知函數及其導數，若存在，使得，則稱是的一個“巧值點”，下列函數中，有“巧值點”的是 （填上正確的序號）

（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）

 

Answer 1

（1）（3）（5）

【解析】

試題分析：①中的函數f（x）=x2，f'（x）=2x．要使f（x）=f′（x），則x2=2x，解得x=0或2，可見函數有巧值點；

對于②中的函數，要使f（x）=f′（x），則e-x=-e-x，由對任意的x，有e-x＞0，可知方程無解，原函數沒有巧值點；

對于③中的函數，要使f（x）=f′（x），則lnx=，由函數f（x）=lnx與y=的圖象它們有交點，因此方程有解，原函數有巧值點；

對于④中的函數，要使f（x）=f′（x），則，即sinxcosx=1，顯然無解，原函數沒有巧值點；

對于⑤中的函數，要使f（x）=f′（x），則，即x3-x2+x+1=0，設函數g（x）= x3-x2+x+1，g'（x）=3x2-2x+1＞0且g（-1）＜0，g（0）＞0，

顯然函數g（x）在（-1，0）上有零點，原函數有巧值點．

故答案為：①③⑤．

考點：1．導數的運算；2．命題的真假判斷與應用．