Question

8．證明：${（x-\frac{1}{x}）^{2n}}$的展開(kāi)式中的中間一項(xiàng)是${（-2）^n}\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$．

Answer 1

分析 根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，寫(xiě)出并化簡(jiǎn)展開(kāi)式的中間一項(xiàng)即可．

解答 證明：${（x-\frac{1}{x}）^{2n}}$的展開(kāi)式共有2n+1項(xiàng)，展開(kāi)式的中間一項(xiàng)是：
T_n+1=${C}_{2n}^{n}$•xⁿ•${（-\frac{1}{x}）}^{n}$
=（-1）ⁿ•${C}_{2n}^{n}$
=（-1）ⁿ•$\frac{（2n）!}{n!•n!}$
=（-1）ⁿ•$\frac{{2}^{n}•n!•1×3×5×…×（2n-1）}{n!•n!}$
=（-2）ⁿ•$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．