Question

已知橢圓C過點是橢圓的左焦點，P、Q是橢圓C上的兩個動點，且|PF|、|MF|、|QF|成等差數列．

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)求證：線段PQ的垂直平分線經過一個定點A；

(3)設點A關于原點O的對稱點是B，求|PB|的最小值及相應點P的坐標．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設橢圓的方程為，由已知，得，解得 　　所以橢圓的標準方程為　　3分 　　(2)證明：設．由橢圓的標準方程為，可知 　　 　　同理　　4分 　　∵，∴ 　　∴　　5分 　　①當時，由，得 　　從而有 　　設線段的中點為，由　　6分 　　得線段的中垂線方程為　　7分 　　∴，該直線恒過一定點　　8分 　　②當時，或 　　 　　線段的中垂線是軸，也過點， 　　∴線段的中垂線過點　　10分 　　(3)由，得． 　　又，∴ 　　　　2分 　　∴時，點的坐標為　　14分