Question

5．已知動點P（x，y）到定點A（2，0）的距離與到定直線l：x=-2的距離相等．
（Ⅰ） 求動點P的軌跡C的方程；
（Ⅱ） 已知點B（-3，0），設不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點P，Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 根據拋物線的定義和題設中的條件可知點P是以F（2，0）為焦點，以x=-2為準線的拋物線，焦點到準線的距離p=4，進而求得拋物線方程．
（Ⅱ）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由題意，直線PQ的方程代入化簡，利用角平分線的性質可得k_PB=-k_QB，可化為：-16tm+（3+m）8t=0，所以：m=3，l：x=ty+3，即可得到定點．

解答 解：（Ⅰ）設動圓圓心P（x，y），則由拋物線定義易得：點P是以F（2，0）為焦點，以x=-2為準線的拋物線，
動圓圓心的軌跡方程為：y²=8x
（Ⅱ） 設兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），設不垂直于x軸的直線：l：x=ty+m（t≠0），
則$\left\{{\begin{array}{l}{x=ty+m}\\{{y^2}=8x}\end{array}}\right.$有：y²-8ty-8m=0，所以：y₁+y₂=8t，y₁y₂=-8m
因為x軸是∠PBQ的角平分線，
所以：k_BP+k_BQ=0，即：$\frac{y_1}{{{x_1}+3}}+\frac{y_2}{{{x_2}+3}}=0$，即：2ty₁y₂+（m+3）（y₁+y₂）=0
則：-16tm+（3+m）8t=0，
所以：m=3，l：x=ty+3，
所以直線l過定點（3，0）．

點評 本題綜合考查了拋物線的定義與標準方程、直線與拋物線相交問題、直線方程及過定點問題、斜率計算公式等基礎知識，考查了推理能力、數形結合的思想方法、計算能力、分析問題和解決問題的能力，屬于中檔題．