Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊為a，b，c，角A的正弦，余弦值與

1

2

構成以為

1

2

等差中項的等差數列．
（1）試判斷該三角形的形狀并說明理由．
（2）如果邊b，c是方程x²-mx+2=0的兩根，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）由已知，sinA+cosA=1，化為

2

sin（A+

π

4

）=1，結合A為三角形內角即特殊角的三角函數值得出A為直角．
（2）根據根與系數的關系，得出bc=2，根據勾股定理以及不等式的性質得出，a²=b²+c²≥2bc=4，得出a≥2．

解答：解：（1）∵角A的正弦，余弦值與

1

2

構成以為

1

2

等差中項的等差數列．
∴sinA+cosA=1
得出

2

sin（A+

π

4

）=1
∴A+

π

4

=2kπ+

π

4

或 2kπ+

3π

4

而A為三角形內角，故 A+

π

4

=

3π

4

，∴A=

π

2

所以該三角形為直角三角形．
（2）邊b，c是方程x²-mx+2=0的兩根，
根據根與系數的關系，得出bc=2
 根據勾股定理以及不等式的性質得出，a²=b²+c²≥2bc=4，
∴a≥2，此時b=c=

2

．

點評：本題主要考查了三角函數式的恒等變形，不等式的性質．考查轉化、計算能力．