Question

如圖，四邊形ABEF和四邊形ABCD均是直角梯形，∠FAB＝∠DAB＝90°，AF＝AB＝BC＝2，AD＝1，FA⊥CD.

(1)證明：在平面BCE上，一定存在過點C的直線l與直線DF平行；
(2)求二面角F­CD­A的余弦值．

Answer 1

(1)見解析   (2)

解：(1)證明：由已知得，BE∥AF，BC∥AD，BE∩BC＝B，AD∩AF＝A，
∴平面BCE∥平面ADF.
設平面DFC∩平面BCE＝l，則l過點C.
∵平面BCE∥平面ADF，平面DFC∩平面BCE＝l，
平面DFC∩平面ADF＝DF.
∴DF∥l，即在平面BCE上一定存在過點C的直線l，使得DF∥l.
(2)∵FA⊥AB，FA⊥CD，AB與CD相交，
∴FA⊥平面ABCD.
故以A為原點，AD，AB，AF分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖．由已知得，D(1,0,0)，C(2,2,0)，F(0,0,2)，

∴＝(－1,0,2)，＝(1,2,0)．
設平面DFC的一個法向量為n＝(x，y，z)，
則⇒不妨設z＝1.
則n＝(2，－1,1)，不妨設平面ACD的一個法向量為m＝(0,0,1)．
∴cos〈m，n〉＝＝＝，
由于二面角F­CD­A為銳角，
∴二面角F­CD­A的余弦值為.