Question

已知函數f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx
（1）當a=0時，求f（x）的極值；
（2）若f（x）在區間[

1

3

，2]上是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為當函數的導數為0時，函數有極值，所以當a=0時，必須先在定義域中求函數f（x）的導數，讓導數等于0，求x的值，得到極值點，在列表判斷極值點兩側導數的正負，根據所列表，判斷何時有極值．
（2）因為當函數為增函數時，導數大于0，若f（x）在區間[

1

3

，2]上是增函數，則f（x）在區間[

1

3

，2]上恒大于0，所以只需用（1）中所求導數，令導數大于0，再判斷所得不等式當a為何值時，在區間[

1

3

，2]上恒大于0即可．

解答：解：（1）函數的定義域為（0，+∞）
∵f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx當a=0時，f（x）=2x-lnx，則f′(x)=2-

1

x

∴x，f'（x），f（x）的變化情況如下表

x	（0， 1 2 ）	1 2	（ 1 2 ，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）		極小值

∴當x=

1

2

時，f（x）的極小值為1+ln2，函數無極大值．
（2）由已知，得f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx，且x＞0，則f′(x)=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

若a=0，由f'（x）＞0得x＞

1

2

，顯然不合題意
若a≠0∵函數f（x）區間[

1

3

，2]是增函數
∴f'（x）≥0對x∈[

1

3

，2]恒成立，即不等式ax²+2x-1≥0對x∈[

1

3

，2]恒成立
即 a≥

1-2x

x2

=

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1恒成立   故a≥[(

1

x

-1)2-1]max
而當x=

1

3

，函數(

1

x

-1)2-1的最大值為3，∴實數a的取值范圍為a≥3．

點評：本題考查了利用導數求函數極值以及函數單調性，屬于常規題，必須掌握．