Question

函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的一段圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調減區間，并指出f（x）的最大值及取到最大值時x的集合；
（3）把f（x）的圖象向左至少平移多少個單位，才能使得到的圖象對應的函數為偶函數？

Answer 1

【答案】分析：（1）由圖可求得A，由T=π可求ω，x=-時，y=0，可求φ；
（2）由2kπ+≤2x+≤2kπ+（k∈Z）可求函數f（x）的單調減區間，繼而可得函數f（x）的最大值及取到最大值時x的集合；
（3）利用誘導公式，可將f（x）=sin（2x+）轉化為f（x）=cos2（x-），從而可得答案．
解答：解：（1）從圖知，函數的最大值為1，
則A=1，函數f（x）的周期為T=4×（+）=π，而T=，則ω=2，
又x=-時，y=0，
∴sin（2×（-）+φ）=0，而|φ|＜，則φ=，
∴函數f（x）的表達式為f（x）=sin（2x+）…（4分）
（2）由2kπ+≤2x+≤2kπ+得：
kπ+≤x≤kπ+（k∈Z），
∴函數f（x）的單調減區間為[kπ+，kπ+]（k∈Z）．
函數f（x）的最大值為1，取到最大值時x的集合為{x|x=kπ+，k∈Z}…7分
（3）f（x）=sin（2x+）
=cos[-（2x+）]
=cos（2x-）
=cos2（x-），
故至少左移個單位，才能使得到的圖象對應的函數為偶函數…10分
點評：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查復合三角函數的單調性及誘導公式的應用，考查綜合分析與運算能力，屬于難題．