Question

設

a

=(sin2x，cos2x)，

b

=(cos?，sin?)（0＜?＜π），函數f(x)=

a

•

b

且f(

3

8

π)=0．
（Ⅰ）求?；
（Ⅱ）在給出的直角坐標系中用五點作圖法畫出函數y=f（x）在區間[0，π]上的圖象；
（Ⅲ）根據畫出的圖象寫出函數y=f（x）在[0，π]上的單調區間和最值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=

a

•

b

=sin2xcos?+cos2xsin?=sin（2x+?）可得sin(2×

3

8

π+?)=0，結合0＜?＜π，可求
（Ⅱ）列表，畫出函數的圖象
（Ⅲ）結合函數的圖象可求函數的單調區間及函數的最值

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

a

•

b

=sin2xcos?+cos2xsin?=sin（2x+?）…（2分）
由題可知：sin(2×

3

8

π+?)=0，…（3分）
∴

3

4

π+?=kπ(k∈Z)，…（4分）
∵0＜?＜π，
∴?=

π

4

…（5分）
（Ⅱ）∵f（x）=sin（2x+

π

4

）
列表因為x∈[0，π]，所以2x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]

2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8	π
f（x）	2 2	1	0	-1	0	2 2

  …（9分）
（Ⅲ）單調增區間：[0，

π

8

]，[

5π

8

，π]…（10分）
單調減區間：[

π

8

，

5

8

π]…（11分）
函數的最大值是：1，最小值-1

點評：此題考查了函正弦函數性質的應用，函數單調區間的求解，涉及的知識有：平面向量的數量積運算，兩角和與差的正弦函數公式，輔助角公式的應用，以及正弦函數的單調性，其中利用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的正弦函數是解本題的關鍵．