Question

設函數f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）設A，B，C為△ABC的三個內角，若cosB=

1

3

，f（

C

2

）=-

1

4

，求sinA．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用兩角和的余弦公式化簡函數f（x）為

1

2

-

3

2

sin2x，可得最大值為

1

2

+

3

2

，最小正周期 T=

2π

ω

．
（Ⅱ）由f（

C

2

）=-

1

4

求得C=

π

3

，由cosB=

1

3

求得 sinB，利用sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC 求出結果．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cos(2x+

π

3

)+sin2x=

1

2

cos2x - 

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

-

3

2

sin2x，
故函數f（x）的最大值為

1

2

+

3

2

，最小正周期 T=

2π

ω

=π．
（Ⅱ）f（

C

2

）=

1

2

-

3

2

sinC=-

1

4

，∴sinC=

3

2

，又C為銳角，故C=

π

3

．
∵cosB=

1

3

，∴sinB=

2 2

3

．∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

2

3

2

×

1

2

+

1

3

×

3

2

=

2 2 + 3

6

．

點評：本題考查兩角和的余弦公式、正弦公式的應用，求出角C是解題的關鍵．